Como calcular o valor RMS de uma onda retangular com 10% do ciclo ativo?

[Daniel Resende]

Que vai de de 0 a 5V?

[Sérgio Lembo]

Para onda retangular Vrms = Vin x duty

[MOR_AL]

.... Mas você quer saber o valor RMS ou MÉDIO da função?

De qualquer forma, segue o cálculo dos dois:

Agora eu faço uma pergunta:

Se f(t) fosse uma corrente e você precisaria dimensionar o fio de um trafo por onde ela passa.

Qual valor você utilizaria?

Você poderia ponderar:

1 - A função só tem valores positivos, então a resposta seria o valor MÉDIO. Ou...

2 - A função tem valor contínuo e valores alternados, então poderia ser o valor RMS.

Qual das duas opções você usaria?

MOR_AL

[Sérgio Lembo]

@MOR , já fazia um bom tempo que não via as equações do RMS cujo conceito, se bem me lembro, é térmico. No caso da onda quadrada, um PWM sobre um Vcc estável, aquela integral de V² x dt multiplicada pelo inverso de T e feita a raiz sobre o resultado, num V constante não equivaleria a V x duty, um caso onde a média e a RMS acabam se equivalendo?

[rjjj]

@Daniel Resende

 

 

A tensão RMS seria calculada da seguinte forma :

 

 

 

 

 

 

@Sérgio Lembo

 

 

No cálculo do valor médio, todas as componentes da série de Fourier geram integrais anuladas com exceção da constante. No cálculo do valor RMS, porém, isso não funciona, pois as simplificações de ortogonalidade não valem para as integrais correspondentes .

 

 

 

Lembra daquele tópico que você disse que o autor substituiu um MOSFET por um de R_DS(ON) maior, e por isso ele esquentava o dobro ? Pois aquelas potências médias levariam todas essas considerações matemáticas em seus cálculos.

 

 

 

Espero ter ajudado .

[MOR_AL]

13 horas atrás, Sérgio Lembo disse:

@MOR , já fazia um bom tempo que não via as equações do RMS cujo conceito, se bem me lembro, é térmico. No caso da onda quadrada, um PWM sobre um Vcc estável, aquela integral de V² x dt multiplicada pelo inverso de T e feita a raiz sobre o resultado, num V constante não equivaleria a V x duty, um caso onde a média e a RMS acabam se equivalendo?

 

Sim e não, hehehe.

O conceito é baseado na energia ou na potência.

Neste caso, de ondas repetitivas (de período T), devemos fazer uma pergunta.

Como posso igualar a corrente de uma onda em PWM de modo a que forneça a mesma potência de uma corrente contínua?

Bom.

Para isso temos que considerar que essa corrente vai passar por uma carga (resistiva).

Para fazer esta associação, temos que igualar a potência em uma resistência, devido a uma tensão (e corrente) contínua, com a potência devido a uma tensão (e corrente) em PWM.

Se fizermos isso, verificaremos que usando o método RMS as duas potências terão o mesmo valor.

Como a potência é R x I^2, usando o valor RMS teremos V^2 x Delta / R = I^2 x R^2 x Delta / R = R x I^2 x Delta

Calculando o valor médio da potência em uma carga R, chegaremos ao mesmo valor R x I^2 x Delta.

MOR_AL

[Sérgio Lembo]

@rjjj e @MOR , reconheço que falei besteira acima. A pergunta foi sobre tensão e minha resposta foi sobre potência dissipada considerando carga resistiva. Supondo uma carga de 1R teríamos 5² / 1 = 25W para 100% ou 1,58² / 1 = 2,5W para 10%. Obrigado a ambos pela correção.

[aphawk]

Já que estão gostando de relembrar o velho Cálculo 1 de nossa época de faculdade ....

 

Imaginem agora que na saída desse PWM, temos um circuito série RC, o capacitor ligado ao GND e o resistor ligado na saída do circuito de PWM.

 

No ponto de junção de R e C, temos um resistor de 4K7 ligado ao GND .

 

Queremos que a tensão sobre o capacitor varie de 0 a 3 Volts conforme o PWM vai de 0 a 100% .

 

Sabendo que a frequência é de 16 Khz, quais os valores de R e de C para que o ripple máximo seja de 10 milivolts e a resposta da variação do ciclo do PWM seja a mais rápida possível?

 

Hehehe boa diversão !!!

 

Paulo

[Sérgio Lembo]

@aphawk

Paulo, isso é DAC de pobre, mas funciona se o ripple for aceitável. kkkkk

[aphawk]

@Sérgio Lembo ,

 

Sim, é isso mesmo !!!!!

Mas tem bastante usos na prática, quando bem calculado.

Eu acho 10mV um ripple muito bom , sem comprometer muito a resposta muito lenta.

 

A minha ideia é justamente deixar esse post como uma referência para quando aparecer alguém pedindo isso kkkkk !

 

Eu acho legal a teoria envolvida nisso, já me salvou em alguns projetinhos com Attiny de 8 pinos ....

 

Paulo

[Sérgio Lembo]

@aphawk , ainda sobre esse DAC, dependendo do circuito a variação não necessita ser rápida. Dessa forma, se uns poucos segundos não atrapalharem a dinâmica do circuito bombando o capacitor se tem ripple até melhor. Por exemplo o uso disso como referência de um limitador de corrente ou referência de tensão numa fonte de bancada SMPS.

[MOR_AL]

Será isso?

 

Maiores detalhes no capítulo 9, item 9.2 - The Responce of Periodic Inputs.

MOR_AL

[aphawk]

@MOR ,

 

A melhor aproximação para o calculo  acredito que é supor a situação com o pior ripple .

 

Por exemplo, supondo um PWM de 8 bits,  a pior situação seria aproximada em um Ton/Ttotal = 128/256. Pelo menos é o que imagino .....  quanto mais atingimos os extremos dos dois lados, menor deve ser o ripple.

 

Então temos um típico circuito RC sendo alimentado por uma onda retangular com essa relação temporal variavel, a uma frequência de 16 Khz. 

 

O resistor sabemos que o cálculo é simples.

 

Já o capacitor .... o valor varia em função da frequência e do ripple máximo desejado. Se usar um maior do que o necessário, o ripple diminui mas a resposta do DAC fica mais lenta.

 

Eu costumo na prática chutar capacitores até obter um resultado satisfatório, mas isso me incomoda pois já esqueçí como fazer esses cálculos ....  kkkkkkk

 

Paulo

[Sérgio Lembo]

11 minutos atrás, aphawk disse:

Por exemplo, supondo um PWM de 8 bits,  a pior situação seria aproximada em um Ton/Ttotal = 128/256. Pelo menos é o que imagino .....  quanto mais atingimos os extremos dos dois lados, menor deve ser o ripple.

Será? Está raciocinando em percentual ou em Vpp?  Eu creio que nas extremidades do PWM é que teremos o maior Vpp, pois se temos uma razão quase que constante de dv/dt será nas extremidades em que um maior dt irá aparecer. Até dá para conferir isso no falstad, mas estou com preguiça. Naturalmente estou supondo um RC que não sature na frequência selecionada.

adicionado 1 minuto depois

Vou conferir no falstad, bateu dúvida agora, a dinâmica é louca.

adicionado 33 minutos depois

@aphawk

Paulo, o simulador concordou contigo.

[aphawk]

@Sérgio Lembo ,

 

Interessante esse simulador... vou baixar ele hehehe ajuda nessas horas de dúvidas conceituais !!!

 

Eu raciocinei na quantidade de energia que é movimentada nas mudanças de polaridade.

Quanto mais energia muda de carga para descarga, mais deve gerar ripple no capacitor.

 

Pequenas alterações gerariam menos ripple do que grandes alterações, e a maior seria mesmo com relação de 50% .

 

Mas não tinha nenhuma certeza, foi o chamado "chute de engenheiro" ....

 

 Mas continuo encafifado com a matemática disso ....

 

Paulo

[Sérgio Lembo]

@aphawk

Paulo, não tem que baixar nada, é online. Apesar de não ter tantos recursos quanto os afamados não é ruim e bem fácil de se mexer. Coloquei a pagina nos favoritos, mão na roda.

http://www.falstad.com/circuit/

[MOR_AL]

É isso aí, mesmo.

Acho que com 2 tentativas (rápidas) dá para chegar ao desejado. Bem mais fácil que ter que calcular. 

Os valores de R e C podem ser alterados, desde que o produto RxC seja mantido.

A tensão e o valor do resistor é o equivalente Thevenin do circuito com tensão do PWM com 5v e dois resistores.

A tensão de pico de V2 vale 3 volts é o divisor resistivo entre os dois resistores de cada circuito. O resistor de cada circuito é o paralelo de dois resistores, conforme minha postagem anterior

Usei o Simetrix. Seguem as figuras.

MOR_AL

[aphawk]

@MOR ,

 

Sim, acho que terei sempre de determinar experimentalmente .... a parte de cálculo não está tão simples como eu gostaria.

 

No caso em questão, como existe um resistor em paralelo com o capacitor, não temos a liberdade do famoso produto RC, pois precisamos definir o R pelo valor máximo da tensão desejada, e a nossa única liberdade é chutar o valor de C.

 

Mas agradeço a todos pelas tentativas !

 

Paulo

[Sérgio Lembo]

@aphawk

Paulo, não estou entendendo esse R em paralelo com o capacitor. A existência dele é o mesmo que colocar um resistor entre o cursor e uma das extremidades do potenciômetro. Lá se vai nossa linearidade. É bem verdade que existe a carga do circuito que receberá essa referência de tensão produzida mas no princípio que referências costumam ser lançadas sobre um amplificador ou comparador, basta que Z_in >> R1 para que seu efeito seja desprezível. Caso não seja possível, um seguidor de sinal resolve.

[rjjj]

@aphawk

 

 

Para uma tensão elétrica v(t) como função do tempo, esta é a definição do fator ripple γ, também chamado ripple percentual :

 

 

 

 

 

 

Já a definição da tensão de ripple V_ripple é conforme abaixo:

 

 

 

 

 

 

Essas equações seriam para a tensão de saída v_o(t), que por sua vez estaria relacionada com a onda quadrada v_i(t) e seu duty cycle D.

 

 

 

Com muita calma, eu pessoalmente construiria esses cálculos com a série de Fourier para a tensão quadrada de entrada, deixando sempre explícito o duty cycle D no somatório. Depois usaria o Teorema da Superposição no circuito RCR para expressar cada componente da onda periódica de saída  !

 

 

 

Por fim, eu tentaria trabalhar e aproximar tudo a meu favor, simplificando as contas. Nesse ponto eu procuraria pela maximização matemática (via derivada nula) que você citou.

 

 

 

Espero ter ajudado .

[MOR_AL]

Paulo.

Eu não entendi.

Pensei que você queria um ripple de 10mVpp com um circuito com um resistor R(paralelo) em // com um capacitor C, ligados do terra à saída. Entre a saída e a entrada há um segundo resistor R(série). Na entrada tem um sinal PWM V(original), com tensões de 5V e 0V. O delta variando de zero a um.

R(paralelo) = 4k7

A solução tem duas etapas:

1 - Usando o teorema de Thevenin, você substitui os dois resistores por apenas um. O valor dele é o paralelo dos dois. Ele fica entre a fonte e o capacitor. Também substitui a fonte por outra com o mesmo sinal, porém de voltagens diferentes. V(Thevenin) = V(original) x R(paralelo) / [R(paralelo) + R(série)]. Esta fonte possui valores de zero e três volts.

Quando você mencionou, que o que eu chamo de V(Thevenin) teria a tensão máxima com 3V, é só calcular R(série), que dá 3k1333.

O valor de R(Thevenin) = 4k7//3k1333 = 1k88.

2 - Com este valor, basta calcular o valor de C, tal que o ripple máximo dê 10mVpp.

Esta última parte é um parto, como o rjjj mostrou. Por isso é que saí pela tangente e escolhendo o circuito com os valores que o Sérgio postou, usei o aplicativo Simetrix. Com apenas duas tentativas se chega ao valor desejado do capacitor. 

Depois, bastaria ajustar os valores de R(Thevenin) e C para valores mais desejados, desde que o produto R(Thevenin) x C permanecesse fixo. Mas neste caso contraria o valor de R(paralelo) = 4k7.

MOR_AL

[Sérgio Lembo]

@MOR  e @aphawk

Morris e Paulo, estou mais perdido do que cego em tiroteio. Se a intenção de RC é transformar o PWM em analógico com saida linear ao duty, que raios faz esse resistor em paralelo ao capacitor vai fazer além de bagunçar a linearidade? Até agora sem entender a finalidade desse resistor.

No teste que fiz escolhi 1kR e 1uF para facilidade de contas e 16kHz por ter sido a frequência mencionada pelo Paulo. Na prática escolheria resistores mais altos (<1mA) para não forçar a corrente na porta e ter um nivel 1 mais confiável em baixo duty.

[aphawk]

@Sérgio Lembo , @MOR , e @rjjj ,

 

Esse resistor que coloquei em paralelo com o capacitor representa uma determinada impedância de entrada de algum circuito, e de quebra também uma maneira de limitar a tensão máxima sobre o capacitor ( ou a entrada do circuito a ser controlado pelo DAC. Não é raro ter de limitar a amplitude da tensão ....

 

Por exemplo, posso aplicar esse DAC simples no gate de um Mosfet, em um circuito limitador de corrente,  ou na base de um transistor comum, ou até em algum circuito que controle linearmente o brilho de um monte de Leds de potênca a partir de uma tensão na entrada.

 

Sei que o cálculo do capacitor é um inferno .... como disse o @rjjj , o qual está com a matemática "nos trinques", é um trabalho chato, pois a série de Fourier não é um caso particular de onda perfeitamente quadrada, a qual eu aproximaria em cerca de 5 componentes e já daria uma boa aproximação.

 

Aqui tem bastante coisa sobre a tal função periódica Pulse ( que é o caso em questão ) , que termina na famosa função "sinc":

 

http://lpsa.swarthmore.edu/Fourier/Series/ExFS.html

 

Mas também é bem cansativo o tratamento .....  enfim, vou continuar no velho e bom teste de bancada em vez de calcular o danado ....

 

Obrigado a todos, este tópico me fez voltar aos velhos tempos de faculdade, quantas saudades !!!!!

 

Paulo

 

[Sérgio Lembo]

@aphawk

Paulo, da mesma forma que colocamos resistores em série para ter uma amostra fixa da tensão, tb se pode fazer o mesmo com capacitores. Então, se quiser 1/3 da tensão, o capacitor inferior terá que ser 2X o valor do superior. As capacitâncias do gate são baixas, vão somar quase nada ao valor do inferior.

Sobre a impedância de entrada se esta não for muito maior que o R do RC, nada que um seguidor de sinal não resolva. É barato, não sei se compensa mapear a curva resultante e fazer a compensação no programa.

Não entendi o tal cálculo do capacitor. Se o RC for muito maior que o período do PWM vamos ter praticamente uma reta tanto no Ton quanto no Toff e precisamos disso para ter o baixo ripple, vamos ter onda triangular de razoável qualidade. Tenho dúvidas se compensa o purismo matemático por conta de um arqueamento tão discreto a não ser que queira se exercitar nisso. Tá também a possibilidade de se bombar o PWM na máxima frequência para não necessitar de um RC tão pesado e ter uma atualização de saída mais rápida. Só não sei se isso irá degradar a qualidade analógica da saída do PWM quando este estiver muito próximo aos extremos, vale uma investigação no osciloscópio.

[aphawk]

@Sérgio Lembo ,

 

Quanto maior o valor do RC, o tempo de resposta aumenta também, e ao mesmo tempo o Ripple abaixa.

 

Imagine que eu tenho de reagir a algum evento em cerca de 100 milisegundos, ou seja, tenho de diminuir a tensão sobre o capacitor, de 3 para 0,5 Volt. 

 

Usando os valores do seu circuito de teste, verá que isso não é possível.

 

Fica claro também que se aumentar o valor máximo de ripple for possível, podemos diminuir o valor do RC.

 

É justamente como se relaciona o tempo de resposta em funcão do RC e do ripple que eu gostaria de equacionar. 

 

Fazer esse tipo de teste na bancada é algo cansativo ....

 

Paulo