Pessoal, passando aqui para dar a resolução do caso. Depois de muita investigação, finalmente consegui resolver o problema! Através de testes de continuidade e do modo diodo, identifiquei que um dos LEDs estava com uma das perninhas em curto.
As principais dificuldades foram: primeiro, o próprio LED é um componente muito barato, mas o frete acaba saindo mais caro que ele — o que complica bastante. Segundo, eu não tinha as ferramentas necessárias pra fazer o conserto, e também foi difícil encontrar alguém disposto a mexer com isso. Felizmente, um cara gente boa me deu uma força e fez a troca pra mim.
Até agora não entendi como um LED pode influenciar o funcionamento das teclas, nem por que ele estaria ligado em série dentro de um teclado mecânico… mas enfim, deu tudo certo no fim! O custo total ficou em R$20 pelo LED + frete, e a mão de obra foi de graça.
Espero que esse post possa ajudar alguém no futuro.
Obrigado a todos pela ajuda!