Felipe, já passei por instabilidade semelhante, depois de anos o PC começou a travar aleatoriamente. Pelo seu relato, me parece que o problema não está no processador nem nas memórias. O culpado provavelmente é a alimentação desses componentes.
Porque esse meu chute?! Mudar a configuração de tensão das memórias parece ter ajudado, e acontece isso porque há mais carga disponível para determinado componente. Além disso, o erro em um core aleatório também me leva a esse caminho. Isso acontece porque os capacitores da MoBo (e/ou da fonte) estão no final da vida útil, e perdem a capacidade de armazenar energia. Pra testar isso, dá pra verificar visualmente se os capacitores estão estufados, mas o ideal é medir a capacitância deles também. A substituição deve ser feita por componentes novos e específicos para esse uso (esses capacitores são especiais, possuem resistência a 105 graus Celsius e tem menor resistência série - low ESR). Se tiver mais dúvidas, só perguntar. Boa sorte!