Apenas inserir o código "($response != null && $response->success" no "if" do seu código.
Ficaria algo assim:
// incluir a funcionalidade do recaptcha
require_once "recaptchalib.php";
// definir a chave secreta
$secret = "INSIRA-AQUI-A-CHAVE-SECRETA";
// verificar a chave secreta
$response = null;
$reCaptcha = new ReCaptcha($secret);
if ($_POST["g-recaptcha-response"]) {
$response = $reCaptcha->verifyResponse($_SERVER["REMOTE_ADDR"], $_POST["g-recaptcha-response"]);
}
// deu tudo certo?
if(isset($_POST['email']) && $response != null && $response->success)
...
Este if acima substituiria o seu if da primeira linha, e todo o código restante permaneceria igual.
Este if não tem um else, você pode adicionar para informar o erro, se foi o email ou o captcha, mas aí vai depender da sua lógica.