O problema é bem simples de resolver:
Abram a página de setup do roteador da NET (acessem em qualquer browser a página "192.168.0.1". O usuário é "" (nada) e a senha é "admin" por padrão; se não funcionar tente resetar seu roteador primeiro).
Vão em "Gateway->Firewall->Web Filter".
O culpado é aparentemente o "IP Flood Detection". Acredito que ele comece a bloquear IPs quando se tem muitos acessos simultâneos, o que é exatamente o que ocorre quando se liga o cliente BitTorrent.
Clique em "Apply" e testem o cliente BitTorrent favorito de vocês.
Se ainda não funcionar, tente desativar o resto das opções em Firewall (e passe a usar um Firewall via software, que para usuários domésticos geralmente é a melhor opção de qualquer jeito).