MSLEXtreme

Tem que escolher o HD na BIOS.

Desde que você não instale o sistema operacional na partição de backup os dados estarão salvos!
 
OBS: Quando você for fazer o pendrive de instalação, veja qual tipo de partição o HD esta usando(MRB ou GPT) pois se você criar uma mídia usando um modo diferente do que o disco esta formatado a instalação não vai permitir você instalar no HD. Eu uso o Rufus para criar o pendrive de instalação e nele você informa se vai querer formatar para MRB,GPT ou GPT com suporte para MRB. Mas você vai escolher o método da instalação quando você escolhe o dispositivo de boot na BIOS(no meu pc aparece opções assim: SandiskUSB e UEFi:SanDiskUSB, no caso a primeira opção é o MRB e a segunda é o GPT).Se eu iniciar pelo modo UEFI(GPT) e o meu disco estiver formatado em MRB ele não permite a instalação e eu teria que reformatar o HD para o formato GPT.

Não é um mal PC, com alguns upgrades vai conseguir jogar sim!
Primeiramente a placa de vídeo, eu recomendaria a GTX 1050 ou 1050TI(R$750).
Memória : seria muito bom ter 8GB, mais dependendo do jogos 6Gb são suficientes.
Processador: ele teria o desempenho semelhante ao Pentium g4560(o I3 seria um pouco mais lento), ou seja, você consegue jogar sim mais em alguns jogos você pode notar um certo engasgo(jogos como GTA 5 e BF1) mais na minha opinião, pelo valor gasto vale a pena.
Fonte: se ela fornecer pelo menos 350W daria para usar*.
 
Em relação a vender e comprar um com peças mais atuais(Ryzen,Intel 7º ou 8º) geração, só em memória DDR4 você pagaria no mínimo 500 reais(por um pente de 8GB "básico",saudades markvision), então ficaria inviável com montar um pc com 1000 reais.
Pegando peças mais antigas para AMD FX e Intel 3º e 4º geração talvez fosse até possível, mais você já tem um pc funcional e dificilmente conseguiria um kit CPU+placa-mãe+memória+HD+fonte por 600 reais.

Baixe um programa de monitoramento de temperatura(HWinfo por exemplo) e poste aqui as temperaturas.
Detalhe: você disse que removeu o cooler mas não informou se aplicou pasta térmica, então se você esqueceu esse pode ser o problema!
 
As fontes com o passar do tempo acabam for deteriorar os capacitores e isso cara influenciando na estabilidade das tensões e até mesmo na potência que a fonte pode fornecer. Se a sua fonte já estava no limite para sua configuração,uma alteração relativamente pequena na potência que a fonte pode fornecer já poderia comprometer o desempenho dela. Teste sem a placa de video e veja se o computador fica "ultimável", nem teste em jogos pois na maioria das vezes o video onboard não da conta do recado.