A marca dessa fonte é corse ou Corsair? Veja na etiqueta dela qual é o modelo, se não conseguir identificar tira uma foto da etiqueta e envia aqui no tópico.
A plataforma 1156 realmente está muito velha, se fosse 1155 ainda daria pra fazer alguma coisa. Com esse orçamento apertado não dá pra fazer muito...
Como você quer fazer stream e lol é um jogo bem leve uma opção seria partir para um kit médio de quarta geração da Intel como esse abaixo.
placa-mãe GA H81M H R$ 255,00
http://produto.mercadolivre.com.br/MLB-821609847-mb-gigabyte-intel-h81-ga-h81m-h-rev-11-_JM
I5 4440 R$ 530,00
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Memoria 8GB DDR3 R$ 260,00
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Os 4 núcleos dele vão te ajudar na hora da stream e como lol é um jogo bem leve você consegue rodar ele com o gráfico integrado do processador. Os kits mais recentes da AMD não possuírem gráfico integrado, o que te força a adquirir uma placa de vídeo, o que não rola com seu orçamento.
Você poderia também tentar pegar um kit mais novo da Intel, mas iria estourar um pouco seu orçamento.
Você já tem HD e Gabinete certo?