Isso provavelmente é um mito que veio do primeiro Xbox, que quando desligado da tomada as configurações de data e hora duravam aproximadamente 4 horas ou menos, depois o aparelho era resetado para a data e hora de fábrica. O problema é que se a dashboard estivesse com algum problema e o console não conseguisse recuperar a data e hora, ele dava erro e não iniciava. O Xbox360 já não tem esse problema em deixar desligado da tomada.
Porém, embora ele não tenha bateria interna, como qualquer outro componente eletrônico não é bom deixar muito tempo desligado. Isso porque pode acumular sujeira nos componentes internos ou oxidação nos contatos devido a umidade do ambiente. Nos computadores, por exemplo, é normal dar problemas de ressecamento de pasta térmica quando ficam muito tempo desligados, além da questão da bateria do clock.
De qualquer forma, se precisar deixar desligado, é bom evitar locais com excesso de poeira e umidade.