Wal SJC

Se a tensão do carregador não cai, provavelmente é defeito em algum componente da placa-mãe mesmo, talvez seja esse capacitor. Notebook antigo fica inviável você cobrar pelo seu trabalho, para ter um lucro mínimo e ainda dar garantia. Vai saber o que mais poderá estar com defeito, além desse capacitor esquentando. O aquecimento também pode ser apenas uma consequência de um curto em outro componente. Mas não compensa você investir horas de trabalho procurando, para ter quase nenhum retorno. Melhor falar que o conserto não vai compensar, o que não deixa de ser verdade.

1 - Sua placa-mãe é razoável, mas seu processador é ruim demais, por mais overclock que você tente fazer, ele não vai chegar nem perto de um processador médio da linha Core2Duo, por exemplo. Esse processador não está legal e não compensa fazer nada para melhorá-lo, se a intenção é um PC para jogos. Por outro lado, um processador usado e bom, para a sua mobo, sai caro demais, já falamos sobre isso.
2 - Memória - se está pensando em jogar, o mínimo aceitável de memória seriam 4 Gb e o ideal 8Gb.
3 - Fonte - sua fonte provavelmente não dará conta do seu sistema, ela pode queimar e danificar alguma coisa mais. Uma fonte de 400W 80 Plus seria o melhor custo-benefício no seu caso.
4 - Placa de vídeo - sua opção é boa para um sistema de entrada, uma outra alternativa seria GTX 750TI 2Gb (Nvidia).
5 - HD - o seu HD de 500Gb atende, se estiver OK.
6 - Eu, no seu lugar, trocaria pelo menos placa-mãe e processador e compraria 8 gB memória.
E depois partiria para a fonte e a VGA novas, dentro daquilo que já foi comentado.
7 - Se não quiser montar um PC por conta própria, aconselho a juntar dinheiro e comprar um PC gamer montado, destes tipos, por exemplo:
http://www.pichau.com.br/computador-pichau-gamer-draconem-lv1-fx-6300-r7-360-8gb-1tb-430w-pcyes-java-orange-box
http://www.pichau.com.br/computador-pichau-gamer-rtb-skylake-intel-i3-6100-geforce-gtx-950-2gb-8gb-ram-430w-pcyes-java-amarelo-box
http://www.pichau.com.br/computador-pichau-gamer-firing-i3-4170-r7-360-2gb-h81m-8gb-500gb-430w-pcyes-java-verde-box
Aí sim você vai conseguir jogar Point Blank, COD e BF3/4 (não no máximo).

O problema dessas fontes "populares" é o CdQ.
A equipe do CdH até leu comentários a respeito de problemas, mas desconsiderou, por não ter como testar e não poder criticar um produto só por "ouvir dizer".
Mas vale o alerta do @faller , aconselha quem conhece, segue o conselho quem tem juízo.
Pode ser que algumas unidades funcionem muito bem e outras "explodam" do nada.
Se eu tivesse uma VGA de R$ 1000, com certeza não arriscaria.

Para testar sua mobo use uma fonte que esteja ok.
Não precisa testar com a VGA off board instalada, pois você disse que sem ela o PC também reiniciou.
As conexões de alimentação para a sua mobo tem alguma coisa diferente das outras?

Essas placas com chipset H61 dão um certo trabalho para reconhecer VGA's atuais, mas se você insistir acaba conseguindo.
Eu tenho uma Megaware que deu trabalho até reconhecer uma R7 260x, mas no final acabou reconhecendo.
E sem precisar atualizar a bios que, por sinal, não está disponível na internet.
Comece tentando na bios as seguintes opções:
(obs.: não conheço a bios da sua placa-mãe, tente entender e adaptar as sugestões)
 
1 - Resetar a bios e reiniciar o PC;
2 - Tentar iniciar só com o vídeo on-board, desativá-lo e desligar o PC. Inserir a VGA off board e ligar o PC;
3 - Selecionar a prioridade dos dispositivos de vídeo (PEG em primeiro lugar);
4 - Se tiver opção de Geração 1 / 2 / 3 para o PCIe, selecionar 3; se não funcionar mudar para 2 ou auto;
5 - Ver outras opções relacionadas com vídeo e ir mudando e testando;
6 - Fazer sempre uma mudança da cada vez e depois combinar com cada uma das outras mudanças, dá um certo trabalho mas você acaba acertando.
7 - Quando o PC não quiser reiniciar, dar um reset na bios;
 

Essa TR2 de 600W parece ser a mais confiável, se não for modelo antigo.
Existem vários modelos TR2 de 500w e 600W com PFC e certificação 80 Plus.
Resta saber os alfanuméricos que vem antes e depois desse TR2.

voce tem que aumentar o multiplicador para 36 ou 37 e ver se o PC inicia e se permanece estável em uso.
Se ficar, você vai aumentando de 1 em 1 e testando, até chegar nos 40 que você pretende (= 4 Ghz).
Se não ficar estável, tem duas opções: reduzir o overclock ou aumentar o Vcore.
Esse processador talvez chegue nos 4 Ghz sem aumentar o Vcore.
O problema é que ao aumentar o Vcore você gera mais aquecimento e, dependendo do uso que for fazer, o ganho de rendimento será pouco perceptível na prática.
Na verdade é um processo de tentativa e erro, sempre aumentando aos poucos e prestando atenção nas temperaturas.
Quando a temperatura ambiente já é alta, fica um pouco mais difícil.
Tem que reforçar a refrigeração, tanto do processador quanto do gabinete.

Como eu suspeitava, a VGA tinha mesmo um problema, que a fazia consumir energia em excesso.
Agora o jeito é partir para outra!

Essa VGA é muito antiga.
Desinstale-a, marque a opção "Excluir drivers", reinicie o PC e deixe o Windows instalá-la automaticamente, buscando os drivers na internet.
Com certeza é a opção que vai funcionar melhor, dentro das limitações da VGA.

Primeiro, tente ligar o PC já pressionando a tecla usada para acessar a bios.
Caso não funcione, basta você dar um reset na bios através do fechamento do jumper específico (CLR_CMOS, BIOS_RST ou algo parecido) por alguns segundos.
Geralmente muda-se dos terminais 1-2 para 2-3 e volta-se ou então são dois pinos separados que você fecha temporariamente.
Isso sempre deve ser feito com o PC desligado e desconectado da tomada.
Consulte o manual da sua placa-mãe para ver maiores detalhes.

Eu falei para você tentar SEM DVD e SEM PENDRIVE, para ver se dá a mesma mensagem.
O problema é que eu acho que você pensa que está botando pelo DVD, mas não está.
Pensa que está botando pelo pendrive, mas também não está.
Pode ser que o software instalador esteja corrompido ou a bios não esteja conseguindo acessar a mídia correta.
Entendeu?

E digo mais: quando se habilita o turbo core, o processador tende a durar menos. Nada que vá acontecer a curto prazo, mas dentro de 4 ou 5 anos, talvez você descubra a diferença.
 
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Talvez a versão do usuário não seja 100% verdadeira.
Não teria como o PC funcionar normalmente por um tempo, apagar de repente e em seguida passar a rejeitar o boot UEFI.
Talvez a bateria da bios tenha se descarregado e as opções da bios estavam diferentes ao religar o PC.
Ou ele pode ter mexido na bios e depois, ao religar o PC, o mesmo não funcionou.
Ou o que foi descrito como "apagar de repente" pode ter sido um desligamento repentino (chutar o fio da tomada), que causou um pulso de tensão e alterou alguma opção da bios ou danificou algum arquivo do Windows.
Se aparentemente tudo estiver funcionando sem problemas, melhor deixar como está. Recomendo um "SFC /scannow" pela linha de comando em modo administrador e faça também um "chkdsk /f".
Se não indicar nada, ou se indicar mas corrigir, não precisa formatar.

Na aba "SPD" deve aparecer até especificação do pente, procure comprar outro o mais parecido possível, inclusive a densidade (double sided/single sided) e a temporização (CL9, CL10, CL11, etc...).
Se eles trabalharem juntos, no final vai ser sempre com a especificação do pente mais "fraco", então não adianta comprar outro pente diferente, pode não operar em dual ou operar com baixo rendimento.

Você não precisa de tanto, mas pela confiabilidade e pelo fato de que uma boa fonte dura muitos anos, recomendo:
Corsair CX-430W
ou
PCYes 430W ATX
O preço justo em torno de R$ 220,00
[url=https://www.balaodainformatica.com.br/produto/49984/?

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Não.
Basta ajustar a sua placa de vídeo na resolução do monitor, para conseguir uma melhor imagem.

Sim, parece que você tem um problema de memória, o que é coerente com os sintomas que você descreveu.
Faça o seguinte, tire um dos pentes e repita o teste com um pente por vez, para saber se é um dos dois pentes que está com defeito.
Ou pode ser a placa mãe.

Não tem nada a ver, a refrigeração depende da boa circulação de ar dentro do gabinete e muitas das placas-mãe usadas em diversos tamanhos de gabinetes diferentes são micro ATX.
Tamanho da placa mãe não é um motivo para preocupação com aquecimento e sim com menor número de portas.
Placas maiores costumam ter uma maior número de portas do que placas menores.
Só isso.

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Saída de 19V não é suficiente para carregar a sua "bateria", pois se for realmente 1,2V por elemento, o total vai dar 19,2V.
voce tem que ter uma tensão um pouco acima da tensão da bateria, para que ela consiga forçar os elétrons em sentido contrário e assim carregar a bateria.
Mas também não pode ser muito acima, senão vai destruir a bateria.
Procure uma fonte para carregar bateria de 19,2V, se for esta a tensão real do seu conjunto.
Verifique na especificação das pilhas, qual é a corrente de carga ideal para elas.
Esse é o valor de corrente que o carregador deverá forçar em cima da bateria, para carregá-la.

Ela é PCIe x16 2.0

Instalou a VGA off-board, ligou o cabo de energia, o cabo do monitor e tudo mais?
Selecionou "Source" corretamente no monitor?

Sim, todas as peças são compatíveis.
Para facilitar a fixação do HD de 2,5" no gabinete, voce pode comprar um adaptador destes:
http://produto.mercadolivre.com.br/MLB-681419239-adaptador-suporte-hd-25-ou-ssd-para-35-_JM

Sim, é uma fonte certificada 80 Plus Bronze.
http://www.plugloadsolutions.com/psu_reports/AEROCOOL_XPEDATOR%20500W_500W_ECOS%201121.3_Report.pdf