É bem simples, veja:
Neste caso, preferi usar uma bateria velha de celular de 3,7V, já que é mais fácil de recarregar com o carregador do próprio que você já tem. Essas baterias de celular param de carregar automaticamente quando atinge o nível máximo. Sem contar que seu LED de 3V pode até durar mais, se a bateria tiver uma corrente alta.
O resistor em série com o LED serve para protegê-lo da tensão mais alta, use algum entre 5 e 22 ohm, faça experiências e veja qual mantém 3V no LED com a bateria de 3,7V. Não estipulei um valor exato, pois não conheço seu LED, se for testar vários resistores comece do de maior valor.
O botão S1 serve apenas, para desligar o LED. Não é possível acender o LED com o carregador na tomada, já que se trata de uma luz de emergência. O LED 2 é o mesmo que está no seu desenho de cor amarela, com o resistor de 330R.
Se não saber quem é quem, teste o seu relé e veja quais são os contatos C, NA e NF.